Puntos de corte con los ejes

05-05-2023

¿Qué son los puntos de corte?

Los puntos de corte son los puntos en los que dos funciones o una función y un eje de coordenadas se intersecan. Estos puntos se caracterizan por tener una abscisa (coordenada (x, 0) ) y una ordenada (coordenada (x, 0)) específicas, que corresponden a las coordenadas del punto de intersección (o punto de corte) en el plano cartesiano.

En general, los puntos de corte son importantes para analizar el comportamiento de las funciones, ya que pueden proporcionar información sobre las raíces de la función, las asíntotas y los puntos críticos, y pueden ser útiles para resolver problemas matemáticos y físicos que involucren el estudio de gráficas de funciones en el plano cartesiano. Por ejemplo, en una gráfica de velocidad frente a tiempo, el punto de corte con el eje (x, 0) corresponde al momento en el que el objeto se detiene (velocidad cero).

¿Cuáles son los tipos de puntos de corte?

En general, podemos identificar tres tipos de puntos de corte:

Punto de corte con el eje X: Es el punto en el que la gráfica de una función interseca el eje X, siendo la ordenada y igual a cero en dicho punto, es decir, un punto de la forma (x, 0).
Punto de corte con el eje Y: Es el punto en el que la gráfica de una función interseca el eje Y, siendo la abscisa X igual a cero en dicho punto, es decir, un punto de la forma (0, y).
Punto de corte entre dos funciones: Es el punto en el que dos funciones se intersecan, que es un punto general (x, y). Este punto es común a ambas funciones, luego cumple las ecuaciones de las dos.

¿Cómo afectan los puntos de corte a la gráfica de una función?

Los puntos de corte son muy útiles para dibujar o representar gráficamente una función, pues indican el punto donde la función cruza al eje correspondiente. Por ende, sirven como referencia para saber por dónde pasa la función, y, sabiendo otros puntos notables como máximos, mínimos y puntos de inflexión, se puede determinar de manera muy precisa la forma de la función.

¿Hay una fórmula para calcular los puntos de corte?

No existe una única fórmula para calcular los puntos de corte de diferentes tipos de funciones, ya que el proceso para encontrar estos puntos depende de la forma específica de cada función. Sin embargo, se pueden utilizar diferentes métodos, entre ellos el análisis algebraico (igualar las ecuaciones de las funciones que se intersecan y resolverlas) y el estudio gráfico de la función (determinar los puntos de intersección visualmente).

En cualquier caso, el proceso para encontrar los puntos de corte puede ser más o menos complejo dependiendo de la complejidad de las funciones involucradas y las herramientas matemáticas disponibles para resolverlas.

¿Cómo se calculan los puntos de corte de una función?

Los puntos de corte en el eje X son los valores de X donde la función se corta con el eje X, es decir, donde y = 0. Así, se deben igualar las funciones a cero (f(x) = 0) y obtener los valores de X que lo cumplen, siendo estos los puntos (x, 0) de la función que cortan al eje X.

Por ejemplo, para la función f(x) = x² - 4, se iguala a cero: x² - 4 = 0. Luego se resuelve para encontrar que:

x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = +-2

Por lo tanto, los puntos de corte de esta función con el eje X son (-2, 0) y (2,; 0). Los puntos de corte en el eje Y son los valores de y donde la función se corta con el eje Y, es decir, donde x=0. Así, se deben sustituir en las funciones el valor de X por cero (f(0)=y) y el valor obtenido de Y es el punto de corte (0, y). Por ejemplo, para la función f(x)= x² - 4, se sustituye x=0:

f(0) = 0² - 4 = -4

Por lo tanto, el punto de corte de esta función con el eje Y se sustituye (0, -4.).

Es importante tener en cuenta que las funciones pueden tener uno o ningún punto de corte con el eje Y, pero no pueden tener varios. Con el eje X pueden tener tantos puntos de corte como se quiera, pues, por ejemplo: una función constante no tiene puntos de corte en el eje X, pero una función sinusoidal (seno o coseno) tiene infinitos puntos de corte con el eje X.

¿Los puntos de corte de una función mantienen la simetría?

Los puntos de corte preservan la simetría, pues si una curva es simétrica con respecto a un eje, los puntos de corte con cualquier eje perpendicular a este mantendrán dicha simetría, conservando también el tipo (par o impar).

Por ejemplo, la parábola f(x) = x²- 4 es simétrica par con respecto al eje Y, luego sus puntos de corte con el eje X (los puntos (2, 0) y (-2, 0) son también simétricos con respecto al eje Y.

¿Cómo se calculan los puntos de corte entre dos funciones?

Para encontrar los puntos de corte entre dos funciones se deben igualar las dos funciones entre sí (f(x) = g(x)) y resolver para encontrar los valores de X que lo cumplen. Estos valores de X deben sustituirse en cualquiera de las dos funciones para obtener los valores de Y correspondientes a los puntos de corte (x, y) de las dos funciones. Al final, hallar los puntos de corte de dos funciones equivale a resolver la ecuación que se obtiene de igualarlas. Así, si las funciones son muy complicadas puede ser necesario utilizar métodos numéricos o aproximaciones gráficas para encontrar los puntos de corte.

Cabe destacar que los valores de Y obtenidos serán los mismo independientemente de en qué función se sustituya el valor de X, pues los puntos de corte son comunes a ambas funciones.

Es importante tener en cuenta también que las dos funciones pueden no se cortarse en ningún punto, en cuyo caso no existirán puntos de corte (por ejemplo, las funciones f(x) = x² ∙ y g(x) = -x² - 1). También es posible que haya más de un punto de corte, dependiendo de la forma de las funciones.

¿Cuándo dos funciones se intersecan en un solo punto?

Para que dos funciones puedan intersecarse en un solo punto, sus rectas tangentes en dicho punto tendrán que ser distintas. Si no, existirá un pequeño intervalo en el que las funciones se superpongan y no haya un único punto de corte.

¿Cuál es la relación entre resolver una ecuación y hallar los puntos de corte de una función?

Si se considera una función f(x), esta puede expresarse como una ecuación algebraica y=f(x), luego hallar los puntos de corte de una función con el eje X es equivalente a resolver la ecuación asociada para y=f(x) = 0. De esta forma, resolver una ecuación 0 = f(x) o calcular los puntos de corte con el eje X de la función f(x) es equivalente.

Por ejemplo, en el caso de dos funciones que se cortan, el punto de corte puede interpretarse en términos de las soluciones de un sistema de ecuaciones o la intersección de dos curvas en un plano. En el caso de una función y un eje de coordenadas, el punto de corte puede indicar el valor de la función al pasar por el eje (el corte de una curva con una recta), o el valor de la variable correspondiente en dicho eje cuando la función pasa por él.