Vector unitario

03-03-2025

VECTOR UNITARIO

Vector unitario

El vector unitario se define como un vector de módulo unidad (de módulo uno). Es muy común que se utilice la expresión “vector normal” para referirse a un vector de módulo 1.

Este tipo de vectores son útiles para muchos casos, pero en especial para definir direcciones y sentidos. Como su módulo carece de importancia, los vectores unitarios indican una dirección y un sentido de forma explícita. Por ello, cualquier vector distinto de 0 puede expresarse y descomponerse como un producto de su módulo y de su vector unitario. Esto es:

Fórmula del vector unitario, donde se muestra la ecuación que divide un vector por su magnitud, obteniendo así un vector con longitud 1. Esta expresión es clave en álgebra vectorial y se utiliza para normalizar cualquier vector en el espacio.

Aplicando este concepto, dado un vector

Representación de la fórmula matemática para calcular un vector unitario, mostrando cómo se obtiene al dividir un vector original por su módulo. Esta operación es esencial en el estudio de vectores en física y matemáticas.

cualquiera (distinto de 0) se puede obtener su vector unitario multiplicando el vector por el inverso de su módulo, o lo que es lo mismo, dividiendo el vector por su módulo. Es decir, dado un vector

Expresión del vector unitario en forma algebraica, donde se ilustra la normalización de un vector. La fórmula muestra cómo se ajusta la dirección del vector sin cambiar su dirección, obteniendo una magnitud de 1. :

Al proceso de conseguir el vector unitario de un vector cualquiera se le denomina normalización del vector. Además, el vector unitario de un vector

Fórmula que define el vector unitario, donde un vector se divide por su magnitud para obtener un vector de módulo 1. Esta operación es fundamental en geometría analítica y en la representación de direcciones sin alterar su orientación.

se suele escribir como Imagen de un vector unitario representado como v con un símbolo en la parte superior, indicando su dirección y magnitud unitaria en un espacio vectorial. o con un acento circunflejo (^) en lugar de una flecha: Representación gráfica de un vector v con un sombrero, utilizado en matemáticas y física para denotar un vector unitario. . Por ejemplo, sea el vector Símbolo matemático de un vector unitario v, que se emplea para representar una dirección sin alterar su módulo. de Notación de un vector unitario v con un sombrero en la parte superior, utilizado en álgebra vectorial y cálculo. , su módulo será: Imagen de un vector v con un marcador distintivo en la parte superior, indicando que su módulo es igual a uno. . Como el módulo el distinto de 0, el vector se puede normalizar y se obtiene su vector unitario: V

La descomposición del vector será entones: R²

Se puede comprobar que, en efecto, el vector R² es unitario: R²

La representación de este vector en el espacio euclídeo bidimensional R² nos da una idea de la importancia del vector unitario y de cómo indica la dirección y sentido del vector: R²

Otro ejemplo, sea el vector R² de

Gráfica del vector nulo, representado por un vector sin dirección ni magnitud, es decir, con todas sus componentes igual a cero. Este vector es fundamental en álgebra lineal y se denota comúnmente como (0, 0, 0)

su módulo será:

Ilustración del vector nulo, que tiene una magnitud de 0 y no apunta en ninguna dirección. Es un concepto esencial en el estudio de vectores, ya que actúa como el elemento neutro en la suma de vectores.

Como el módulo el distinto de 0, el vector se puede normalizar y se obtiene su vector unitario:

Representación del vector nulo, un vector cuyo origen y destino son el mismo punto, es decir, tiene una longitud de cero. Su utilidad es clave en operaciones vectoriales y en la resolución de ecuaciones vectoriales.

La descomposición del vector será entones:

Fórmula del vector nulo, donde sus componentes (x, y, z) son iguales a cero. Este vector se utiliza en matemáticas y física como punto de referencia para otras operaciones y transformaciones de vectores.

Se puede comprobar que, en efecto, el vector

Ilustración del vector nulo, cuya única característica es que no tiene dirección ni magnitud, representando el origen del sistema de coordenadas. Es esencial en la definición de espacios vectoriales y en las bases de álgebra.

es unitario:

Gráfico mostrando el vector nulo, un vector sin magnitud que se encuentra en el origen del sistema cartesiano. Es un concepto importante cuando se estudian sistemas de ecuaciones y operaciones vectoriales.

La representación de este vector en el espacio euclídeo tridimensional

Representación del vector nulo, caracterizado por su falta de dirección y tamaño, con componentes iguales a cero. Se utiliza en diversas áreas de las matemáticas y la física para simplificar cálculos y representar el 'no movimiento' o 'estado de reposo

nos da una idea de la importancia del vector unitario y de cómo indica la dirección y sentido del vector:

Imagen del vector nulo, un vector cuya longitud es cero, es decir, un vector sin desplazamiento. En álgebra lineal, es la base para la definición de espacios vectoriales y la resolución de problemas geométricos.

Gráfica que muestra la expresión de un vector en función de su vector unitario en el espacio tridimensional (R³). Se representa el vector original como una combinación lineal de los vectores unitarios i, j y k, donde cada uno corresponde a una dirección en los ejes x, y y z, respectivamente.

En este ejemplo se puede observar cómo el vector unitario representa perfectamente la dirección y el sentido del vector. Por ende, el vector unitario permite aplicar todas las propiedades vectoriales que no dependan del módulo.

Observación: Hay que tener mucho cuidado cuando se realizan divisiones en una operación con vectores, pues los vectores no pueden dividirse. Lo que sí se puede hacer es dividir un vector por un escalar (por un número), que equivale a multiplicar el vector por el inverso de dicho escalar.

Se puede comprobar que la definición de vector unitario carece de sentido cuando se trata de vectores nulos (V=0=(0, 0, 0)), pues su módulo sería 0 y no podría dividirse por él. Además, un vector nulo no tiene ni dirección ni sentido, por lo que el “vector unitario” asociado a él no aportaría ninguna información.

Base de vectores unitarios

Los vectores unitarios son claves en la formación de bases de espacios vectoriales. Cuando se habla de una base de un espacio vectorial se entiende un conjunto finito (o numerable) de vectores de dicho espacio que puede generar el espacio. Así, cada vector del espacio podría escribirse como una combinación lineal de los vectores de la base.

Un conjunto de vectores que forman una base de un espacio vectorial se denomina sistema generador de dicho espacio vectorial, y existirán infinitas posibles, pues cualquier conjunto linealmente independiente de d vectores será una base válida (d es la dimensión del espacio vectorial). Por ello, interesa saber qué base es la más apropiada.

Las bases óptimas para representar un espacio vectorial son bases ortonormales, es decir, bases formadas por vectores unitarios linealmente independientes y que son todos perpendiculares entre sí. Si los vectores no son unitarios (no tienen módulo 1), pero sí son perpendiculares entre sí, la base se denomina ortogonal.

Para ejemplificar esto, estudiemos en profundidad los casos V=0=(0, 0, 0) y V=0=(0, 0, 0).

Para un espacio un espacio euclídeo plano (V=0=(0, 0, 0)), los vectores que generan e₂ = (0, 1) habitualmente son los llamados vectores canónicos: e₂ = (0, 1) y e₂ = (0, 1).

Cualquier vector e₂ = (0, 1) puede escribirse como una combinación lineal de estos dos vectores: e₂ = (0, 1)

De todas formas, cualquier par de dos vectores linealmente independientes es una base válida de e₂ = (0, 1), pues cualquier otro vector podría escribirse como combinación lineal de los dos anteriores. Se emplea la base canónica por ser una base ortonormal.

Considérense por ejemplo los vectores V₂ = (-1, 1) y V₂ = (-1, 1), estos son linealmente independientes y cualquier vector V₂ = (-1, 1) puede escribirse como combinación lineal de los anteriores. Por ejemplo, el vector V₂ = (-1, 1) es combinación lineal de los vectores V₂ = (-1, 1) y V₂ = (-1, 1):

Gráfica del vector (1, 0, 0) en el espacio tridimensional. Este vector tiene una magnitud de 1 y apunta en la dirección del eje x, representando una unidad de desplazamiento a lo largo de dicho eje.

Cabe destacar que en este caso los vectores e₁ = (1, 0, 0) y e₁ = (1, 0, 0) no forman una base ortogonal (pues no son perpendiculares, ya que su producto escalar no es 0) ni normal (pues su módulo no es 1).

Para obtener la combinación lineal anterior se puede emplear un sistema de ecuaciones sencillo, tal que: e₁ = (1, 0, 0). Separando las dos componentes en dos ecuaciones separadas (ya que se deben cumplir ambas a la vez):

Representación del vector (1, 0, 0) en el sistema de coordenadas 3D. Este vector se encuentra alineado con el eje x, con una magnitud de 1, y no tiene componente en los ejes y ni z.

Si se resuelve el sistema se obtienen directamente los valores de x e y que son solución de la combinación lineal considerada.

Si ahora se considera un espacio euclídeo tridimensional (e₁ = (1, 0, 0), los vectores que generan e₁ = (1, 0, 0) habitualmente son los llamados vectores canónicos:

Ilustración del vector (1, 0, 0), un vector unitario en la dirección positiva del eje x en el espacio tridimensional. Este vector es fundamental en la representación de direcciones en álgebra y geometría vectorial , Gráfico del vector (1, 0, 0), representando un vector unitario en el eje x en un sistema de coordenadas 3D. Este vector tiene una magnitud de 1 y no tiene componentes en los ejes y ni z. y Representación del vector (1, 0, 0) en el espacio tridimensional, alineado completamente con el eje x. Este vector es clave en la definición de los vectores base en R³ y tiene una magnitud de 1.

Es muy común escribir los vectores canónicos en e₁ = (1, 0, 0) como:

Gráfica que muestra el espacio euclidiano tridimensional, ilustrando la relación entre un espacio vectorial y su base unitaria, destacando la combinación de vectores en tres dimensiones. , Representación del espacio euclidiano tridimensional, mostrando cómo los vectores de un espacio se pueden expresar en función de una base unitaria, con énfasis en la linealidad y la transformación de vectores. y Imagen del espacio euclidiano en tres dimensiones, destacando la interacción entre el espacio y la base unitaria. Aquí se muestran vectores en sus componentes y la normalización de las direcciones.

Cualquier vector

Visualización del espacio tridimensional, mostrando la relación entre el espacio y la base unitaria. Esta fórmula refleja cómo cada vector en el espacio puede descomponerse utilizando las unidades base del sistema

puede escribirse como una combinación lineal de estos tres vectores:

Gráfico del espacio en 3D que ilustra cómo la proyección y normalización de vectores dentro de un espacio euclidiano se lleva a cabo utilizando la base unitaria para simplificar las representaciones de los vectores.

De todas formas, cualquier trío de tres vectores linealmente independientes es una base válida de

Expresión visual del espacio euclidiano tridimensional, demostrando cómo el espacio puede ser representado mediante una base unitaria, permitiendo la construcción y descomposición de vectores en tres dimensiones.

pues cualquier otro vector podría escribirse como combinación lineal de los tres anteriores. Igual que para

Representación del espacio euclidiano y su relación con la base unitaria. Esta imagen resalta cómo los vectores en el espacio tridimensional pueden expresarse como una combinación lineal de los vectores base.

se emplea la base canónica por ser una base ortonormal.

Propiedades asociadas a los vectores unitarios

Vectores paralelos: dos vectores se dice que son paralelos cuando se encuentran sobre una misma dirección (independientemente de su sentido). Esto es equivalente a decir que si se prolongan dos vectores paralelos nunca se cortarán, o que las rectas sobre las que se encuentran son paralelas.

El concepto de vector paralelo se simplifica entendiendo que dos vectores son paralelos si y solo si sus vectores unitarios son paralelos, pues el módulo no afecta al concepto de paralelismo.

Vectores perpendiculares (ortogonales): dos vectores se dice que son perpendiculares cuando su producto escalar es 0, o lo que es lo mismo, cuando el ángulo entre ellos es recto (ángulo de Representación del espacio euclidiano y su relación con la base unitaria. Esta imagen resalta cómo los vectores en el espacio tridimensional pueden expresarse como una combinación lineal de los vectores base. ). Esta definición consiste en la particularización del concepto de que las rectas sobre las que se encuentran sean perpendiculares, es decir, que sus direcciones se corten formando un ángulo recto.

El concepto de vector perpendicular se simplifica también si se entiende que dos vectores son perpendiculares si y solo si sus vectores unitarios son perpendiculares, pues el módulo no afecta al concepto de perpendicularidad.

Vector adimensional: en física, y en cualquier ámbito que se trabaje con vectores que tengan unidades, se entiende que las unidades del vector las aporta el módulo, mientras que el vector unitario indica la dirección y sentido de este. Por ello, el vector unitario de una magnitud es siempre adimensional.

Por ejemplo, para un vector que represente un campo eléctrico Expresión visual del espacio euclidiano tridimensional, demostrando cómo el espacio puede ser representado mediante una base unitaria, permitiendo la construcción y descomposición de vectores en tres dimensiones. , con unidades de voltio por metro ( Gráfico del espacio en 3D que ilustra cómo la proyección y normalización de vectores dentro de un espacio euclidiano se lleva a cabo utilizando la base unitaria para simplificar las representaciones de los vectores. ), sería: Visualización del espacio tridimensional, mostrando la relación entre el espacio y la base unitaria. Esta fórmula refleja cómo cada vector en el espacio puede descomponerse utilizando las unidades base del sistema. , siendo Imagen del espacio euclidiano en tres dimensiones, destacando la interacción entre el espacio y la base unitaria. Aquí se muestran vectores en sus componentes y la normalización de las direcciones. el módulo en Imagen mostrando el vector v1 en un espacio cartesiano, representado con una flecha desde el origen hacia una dirección específica. Este vector tiene componentes visibles que definen su magnitud y orientación. y ráfico de V 1, un vector en un plano cartesiano, indicando sus componentes en el eje x y el eje y. El vector está claramente marcado, mostrando su dirección y longitud. su vector unitario adimensional.

Vectores coplanarios: en Representación visual del vector V1 en un espacio bidimensional. La flecha que lo representa parte del origen y se extiende hacia la posición correspondiente, con los valores de sus componentes indicados. se puede definir la condición de vectores coplanarios. Esto es, que los vectores estén sobre un mismo plano. Si se consideran dos vectores ( Ilustración del vector V 1 en un gráfico, destacando su dirección y magnitud. Este vector se usa comúnmente en álgebra lineal y geometría analítica para representar desplazamientos en el espacio. y ) de Imagen que presenta un vector claramente representado en un sistema de coordenadas. La flecha muestra sus componentes y se dirige hacia una coordenada específica en el espacio. siempre se puede construir un plano que los contenga ambos a la vez, simplemente tomando como vectores generadores del plano los vectores unitarios de los dos vectores considerados ( Representación gráfica de un espacio tridimensional, mostrando los tres ejes coordenados (x, y, z) que definen las posiciones en tres dimensiones. Los vectores se ubican según sus componentes en cada eje y ).

Por otro lado, para tres vectores se dice que son coplanarios cuando uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos. Esto es lo mismo que decir que uno de sus vectores unitarios es combinación lineal de los otros dos vectores unitarios, o que el producto mixto de los tres vectores unitarios es 0.

Como observación, una base ortogonal en Ilustración de un espacio tridimensional, donde se pueden observar los vectores ubicados según las coordenadas x, y, y z. La imagen muestra cómo los vectores se extienden y se desplazan a lo largo de los tres ejes. está formada por dos vectores unitarios coplanarios y un tercer vector unitario perpendicular al plano que forman los dos primeros vectores unitarios.

Se puede ver entonces que todas las propiedades para las que el módulo no es importante se pueden estudiar directamente en los vectores unitarios y trasladar sus conclusiones a los vectores con módulo.