¿Qué es la constante de Kaprekar?

La constante de Kaprekar es un número “especial” en matemáticas que lleva el nombre del matemático indio D. R. Kaprekar. Esta constante se obtiene al seguir un proceso matemático particular de operaciones combinadas sobre números enteros que involucra números de, habitualmente, cuatro dígitos, aunque puede obtenerse para números con distintas cifras.

Los pasos para encontrar la constante de Kaprekar, considerando números de las cifras que sean, son los siguientes:

Se toma cualquier número entero positivo de al menos dos dígitos distintos.

Se ordenan los dígitos del número en orden descendente y en orden ascendente para formar dos nuevos números. Esto es, se obtiene el mayor y el menor número posibles con dichas cifras. 

Se restan estos números, el más grande menos el más pequeño. 

Se repiten los pasos 2 y 3 con el resultado obtenido en el paso anterior, hasta llegar a un número fijo, que es la constante de Kaprekar. 

Algunas consideraciones importantes que se deben tener en cuenta son:

Si se considera un número con todos sus dígitos iguales, al realizar el proceso se obtendrá 0, pues el número mayor y el número menor serán iguales.

Es posible que para ciertas cifras se obtengan número pequeños, menores al número de cifras consideradas, esto no es un problema. Por ejemplo, si se está trabajando con números de cuatro cifras y se tiene el número 4520, el mayor será el 5420 y el menor el 245 (que tiene tres cifras).

Es posible que el resultado de la resta tenga menos cifras de las consideradas. En ese caso, el número máximo se obtiene añadiendo ceros a la derecha. Esto es, si se considera el 9989, el número máximo es 9998 y el mínimo 8999, siendo la resta 999. Ahora, el siguiente número máximo será el 9990 y el mínimo el 999.

Para números de ciertas cifras (se verá más adelante) no se obtiene una constante de Kaprekar, si no una secuencia de Kaprekar. 

¿Quién fue Kaprekar?

Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) fue un matemático indio conocido por sus trabajos en la teoría de números. Entre otros premios y honores, recibió el Premio Padma Shri del gobierno indio en 1962, y pasó la mayor parte de su carrera trabajando en el Instituto Tata de Investigación Fundamental en Bombay, India. Kaprekar es muy conocido por haber descubierto varias propiedades interesantes sobre los números y, particularmente, por haber formulado la constante de Kaprekar, de la que habla este artículo. Aun así, también definió los números de Kaprekar: números enteros no negativos tales que los dígitos de su cuadrado pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.

¿Cuál es la relación entre la constante de Kaprekar y las matemáticas?

La constante de Kaprekar es una propiedad matemática que puede ser vista como una operación de clasificación y combinación de los dígitos del número original, y muestra cómo la organización de los dígitos puede afectar al valor final de la resta. Se trata entonces de una iteración de operaciones combinadas, relacionada con la operación resta (clave en matemáticas) y con la reordenación de cifras (operación que no sé utiliza habitualmente, excepto en teoría de números). Por otro lado, este proceso tiene una relación directa con el álgebra. Tanto es así que la constante de Kaprekar puede expresarse algebraicamente para cualquier número entero positivo de n dígitos, utilizando la notación posicional de números:

Sea N un número entero positivo de n dígitos (n ≥ 2).

Sea N' el número obtenido al ordenar los dígitos de N en orden descendente.

Sea N'' el número obtenido al ordenar los dígitos de N en orden ascendente.

Entonces, el resultado obtenido tras una iteración es N1, es decir: N1 = N' − N''. La constante de Kaprekar, K, será entonces el número obtenido tras m iteraciones: K = Nm = Nm-1' – Nm-1'' 

¿Por qué el número 6174 es importante?

El número 6174 es importante porque es la constante de Kaprekar para número de cuatro cifras. Además, es el único número de cuatro dígitos que no cambia cuando se aplica el proceso, es decir, la constante de Kaprekar de cuatro dígitos es única (algo que no ocurrirá para distinto número de cifras). Veámoslo: Su número máximo y mínimo son: 7641 y 1467, su resta es, de nuevo, la constante de Kaprekar: 7641 – 1467 = 6174, Asimismo, el número 6174 también tiene algunas otras propiedades interesantes en matemáticas, por ejemplo: es un número de Harshad (un número que es divisible por la suma de sus dígitos) y es el producto de dos números primos distintos (2 y 3087).

A modo de ejemplo, veamos cómo se obtiene la constante para el número 5492:

El número máximo y el número mínimo con estas cifras son: 9542 y 2459.

Su resta es: 9542 – 2459 = 7083

Se repite, el número máximo y mínimo ahora son: 8730 y 378.

Su resta es: 8730 - 378 = 8352

Se repite, el número máximo y mínimo ahora son: 8532 y 2358.

Su resta es:  8532 – 2358 = 6174

Finalmente, se ha obtenido la constante de Kaprekar, luego si se sigue repitiendo el proceso se comprueba que el número no cambia. Por último, el número de iteraciones necesarias para obtener la constante de Kaprekar depende del número inicial, pero para cualquier número entero positivo de 4 dígitos el número máximo de iteraciones necesarias es 7.

¿Cuál es la constante de Kaprekar para un número de tres cifras?

La constante de Kaprekar para números de tres cifras es 495, pues vemos que este número es fijo: su máximo es 954 y su mínimo es 459, siendo su resta de nuevo 954 – 459 = 495.

El proceso para obtener la constante de Kaprekar de un número de tres cifras es, por ejemplo, para el 297:

Su máximo y su mínimo son 279 y 972.

La resta es: 972 - 279 = 693.

Ahora, se repite el proceso con el resultado obtenido: 963 - 369 = 594.

De nuevo, se repite: 954 - 459 = 495.

Así, el número obtenido se repetirá infinitamente en cada iteración, habiendo llegado a la constante de Kaprekar. Para un número de tres cifras hacen falta, como máximo, 5 iteraciones para llegar a la constante de Kaprekar.

¿Cuál es la constante de Kaprekar para un número de dos cifras?

Si se aplica el proceso de Kaprekar a números de dos cifras se observa que no existe una constante. En su lugar, existe una secuencia que se repite cíclicamente y que se conoce como la “sucesión de Kaprekar”. Esta sucesión es 9, 81, 63, 27, 45:

54 – 45 = 9

90 – 09 = 81

81 – 18 = 63

63 – 36 = 27

72 – 27 = 45 (y la secuencia se repite)

Esto puede comprobarse que ocurre para cualquier número, por ejemplo, para el 71:

Sus máximo y mínimo son 71 y 17, y la resta es 71 – 17 = 54, Ahora, 54 – 45 = 9, alcanzándose el comienzo de la secuencia.

¿Cuál es la constante de Kaprekar para un número de cinco cifras?

Para números de cinco cifras no existe una constante de Kaprekar, al igual que ocurría para números de dos cifras. En su defecto, existen tres posibles secuencias a las que cualquier número converge:

Ciclo 1: 53955, 59994.

Ciclo 2: 61974, 82962, 75933, 63954.

Ciclo 3: 62964, 71973, 83952, 74943.

Cualquier número de cinco dígitos converge, tras aplicar el proceso de Kaprekar, a uno de estos tres ciclos en, como máximo, cinco iteraciones. Veamos por ejemplo el número 42112:

Su máximo y su mínimo son 42211 y 11224, respectivamente.

Su resta es 42211 – 11224 = 30987.

Ahora, su máximo y su mínimo son 98730 y 3789, siendo su resta: 94941. De nuevo, su máximo y su mínimo son 99441 y 14499, siendo su resta: 84942. En la siguiente iteración, su máximo y su mínimo son 98442 y 24489, siendo su resta: 73953. Finalmente, se obtiene el comienzo de una secuencia en la quinta iteración, pues su máximo y su mínimo son 97533 y 33579, siendo su resta 63954 (ciclo 2).

¿Para qué sirve la constante de Kaprekar?

La constante de Kaprekar tiene varias aplicaciones en matemáticas y en otros campos, siendo algunas de las más importantes:

Criptografía: se utiliza en algunos algoritmos de cifrado, como el cifrado de clave pública RSA, para generar claves aleatorias.

Teoría de números: la constante de Kaprekar y el proceso que lleva a ella son de interés en la teoría de números y se utilizan para estudiar propiedades de los números enteros y patrones numéricos, así como en álgebra numérica.

Educación matemática: es una forma interesante de enseñar conceptos matemáticos, como el valor posicional de las cifras o las operaciones aritméticas básicas, a estudiantes jóvenes. También puede ser utilizado para fomentar el pensamiento crítico y el razonamiento lógico.

Divulgación científica: es un ejemplo de un fenómeno matemático interesante y fácil de entender que puede ser utilizado para ilustrar la belleza y la complejidad de las matemáticas a un público amplio.

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